跳跃游戏的动态编程自下而上的算法实现

跳跃游戏问题通常是指在一个数组中，每个元素代表从该位置可以跳跃的最大步数。目标是判断从数组的起点是否能够到达终点。我们可以使用动态规划的自下而上的方法来解决这个问题。

动态规划的基本思路

动态规划是一种解决复杂问题的有效方法，其核心思想是将大问题分解为多个小问题，分别解决后再合并结果。在跳跃游戏问题中，我们可以将问题分解为每一步可以跳跃的最远位置。

具体来说，我们可以通过遍历数组，记录从当前位置可以到达的最远位置。每当我们处理一个位置i时，假设我们已经知道了从位置0到i-1的最远位置，那么从i的位置，我们可以跳跃的最大步数是nums[i]。这样，我们可以更新当前的最远位置。

算法步骤

初始化数组：首先，我们需要一个额外的数组dp，其中dp[i]表示从位置i出发到达终点的最远位置。初始时，dp数组的所有元素都设置为0。

遍历数组：从左到右遍历数组。对于每个位置i，我们需要确定从i出发可以跳跃到的最远位置。

更新最远位置：在遍历过程中，我们维护一个变量max_reach，表示当前已经处理过的位置i之前的最远位置。对于每个i，如果i超过了max_reach，那么我们无法从i的位置继续跳跃到达终点，直接返回false。

更新当前最远位置：如果当前位置i的值加上当前的位置i大于等于max_reach，那么我们更新dp[i]为i + nums[i]。同时，我们也更新max_reach为i + nums[i]。

终止条件：当我们遍历到数组的最后一个位置时，如果max_reach大于等于数组的长度，说明我们可以到达终点，返回true。否则，返回false。

代码实现

#import 
   
    
@interface JumpGame : NSObject
- (BOOL)canJump:(NSArray *)nums;
@end

#import 
   
    
@interface JumpGame : NSObject
- (BOOL)canJump:(NSArray *)nums;
@end

@implementation JumpGame
- (BOOL)canJump:(NSArray *)nums {
    if (nums.count == 0) return false;
    
    int n = nums.count;
    int dp[] = {0};
    int max_reach = 0;
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (i > max_reach) {
            return false;
        }
        
        max_reach = max(max_reach, i + nums[i]);
        dp[i+1] = max_reach;
    }
    
    return max_reach >= n;
}

总结

通过上述方法，我们可以高效地解决跳跃游戏问题。动态规划的自下而上方法确保了我们在处理每个位置时，只关注当前位置及其之后的位置，从而保证了算法的时间复杂度为O(n)。这种方法不仅简洁高效，还能够处理较大的输入规模。

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